Des milieux périodiques aux milieux aléatoires

Nous étudions dans cet axe de recherche la propagation d'ondes dans des milieux hétérogènes quand la taille caractéristique des inhomogénéités est du même ordre que la longueur d'onde. Dans ce régime, les techniques d'homogénéisation ne peuvent pas s'appliquer et le milieu hétérogène doit être considéré en tant que tel. Nous avons une expertise de longue date sur les milieux périodiques, en particulier sur l'analyse spectrale des opérateurs différentiels aux coefficients périodiques et/ou une géométrie périodique et l'analyse mathématique et numérique des problèmes de diffraction dans les milieux périodiques non-bornés. Plus récemment, nous nous sommes intéressés aux milieux quasi-périodiques, qui sont des milieux ordonnés mais non-périodiques (voir Figure 2) et avons travaillé sur les milieux périodiques aléatoirement perturbés. Nous détaillons ci-dessous quelques problèmes auxquels nous nous sommes intéressés récemment.

Théorie spectrale dans des milieux périodiques

Dans certaines gammes de fréquence, les structures périodiques se comportent comme des isolants ou des filtres : les ondes mono-chromatiques associées, appelées modes de Floquet, ne peuvent pas se propager dans le matériau. Cette propriété est reliée, d'un point de vue mathématique, au spectre de l'opérateur correspondant qui présente une structure en bandes : le spectre peut présenter des intervalles de fréquence interdites appelés band gaps. En présence d'une frontière, une interface ou plus généralement une perturbation linéique d'un milieu périodique, un transport de l'énergie dans une direction est possible. De tels phénomènes peuvent être exploités dans la conception de guides quantiques, électroniques ou photoniques. Nous cherchons ici à (1) trouver des conditions sur le milieu périodique ou la perturbation qui assure le transport de l'énergie et (2) proposer une méthode numérique pour illustrer le phénomène.

Propagation d'ondes dans des milieux périodiques

Une des difficultés de l’étude des équations d'ondes en régime harmonique en domaine non borné est que le problème associé n’est pas toujours bien posé dans un cadre classique. Il faut imposer en général un comportement à l’infini qu’on appelle condition de radiation ou se ramener à un domaine borné et imposer une condition transparente. Ses difficultés sont peu traitées dans la littérature quand les milieux sont hétérogènes.

Depuis quelques années, nous avons considéré le cas des milieux périodiques dans différentes configurations (guides d’ondes, demi-espace, milieu périodique et infini dans 2 directions…). Nous avons proposé des conditions de radiation pour les guides d’ondes et avons beaucoup travaillé sur la construction de condition transparente qui a l’avantage d’avoir une contrepartie numérique. La démarche est la suivante: (1) on rajoute un peu de dissipation (i.e. une partie imaginaire à la fréquence) pour se ramener à un cadre classique, (2) on construit un opérateur de Dirichlet-to-Neumann en tirant profit de la structure du milieu, (3) on passe à la limite sur la dissipation.<

Propagation d'ondes dans des milieux quasi-périodiques

Les EDPs aux coefficients quasi-périodiques ont été le sujet d'un grand nombre d'études théoriques (voir en particulier le travail de RM Levitan, VV Zhikov) mais hors du contexte de l'homogénéisation, il semblerait que peu de travaux portent sur la résolution numérique de ces équations. L'objectif global est de développer des méthodes numériques originales pour la solution de l'équation des ondes en régime harmonique dans les milieux quasi-périodiques, dans l'esprit des méthodes qui ont été développées auparavant pour les milieux périodiques. L'idée est d'utiliser que l'étude d'une EDP elliptique (dans le sens où la partie principale de l'opérateur est elliptique) avec des coefficients quasi-périodiques se ramène à l'étude d'une EDP non-elliptique en dimension supérieure mais dont les coefficients sont périodiques.

Propagation d'ondes dans des milieux aléatoires

L'analyse de l'équation des ondes en régime harmonique dans un milieu aléatoire non borné pose des questions très difficiles qui concernent la construction de condition de radiation à l'infini ou conditions transparentes. Pour l'instant, nous avons abordé des configurations simples qui sont proches de situations que nous savons déjà traité. Plus précisément, nous avons traité le cas de milieux périodiques qui sont faiblement perturbés aléatoirement, avec deux types de perturbations : (1) les perturbations sont modélisées par des coefficients oscillants stationnaires et ergodiques, dont la taille des oscillations est petite devant la longueur d'onde, et (2) le cas de perturbations aléatoires rares du milieu, où chaque période a une probabilité faible de voir ses coefficients modifiés, indépendamment des autres périodes. Nous avons établi un développement asymptotique de la solution par rapport au petit paramètre. Ce développement peut être utilisé pour construire des conditions de frontière absorbantes pour ces milieux.