Problèmes inverses, invisibilité et optimisation
Le domaine des problèmes inverses constitue une partie importante de notre activité. Compte tenu de la forte expertise de POEMS dans les domaines de la modélisation et de la simulation des ondes, la plupart des problèmes inverses qui nous intéressent concernent la diffraction inverse. L'invisibilité et l'optimisation sont des activités plus récentes qui peuvent être considérées comme liées aux problèmes inverses.
Le premier axe des problèmes inverses concerne les méthodes d'échantillonnage dans des structures allongées, appelées guides d'ondes, tant en acoustique qu'en élasticité. Dans le cadre du Contrôle Non Destructif, notre objectif est de détecter certains défauts dans des guides d'ondes, des jonctions de guides d'ondes ou des guides d'ondes qui sont partiellement noyés dans un milieu environnant. Nous avons notamment validé la Linear Sampling Method dans un contexte expérimental et réaliste de CND par ultrasons. Les méthodes d'échantillonnage consistent à tester si un point décrivant une grille d'échantillonnage appartient ou non au défaut en résolvant un petit système ne dépendant que de données multistatiques.
Le deuxième axe des problèmes inverses concerne la notion de formulations mixtes de la régularisation de Tikhonov, qui a des liens avec le vieux concept de quasi-réversibilité et vise à régulariser les EDP mal posées. Essentiellement, nos formulations mixtes nous permettent d'utiliser une méthode éléments finis fondée sur des éléments classiques tout en restant compatible avec le principe de Morozov pour spécifier le paramètre de régularisation. Couplées à une technique de level set, elles permettent également de résoudre des problèmes inverses d'obstacles à l'aide d'un seul couple de données de Cauchy.
Un troisième axe concerne l'invisibilité dans les guides d'ondes. Il y a deux objectifs. D'une part, on souhaite construire des obstacles non réfléchissants, voire parfaitement invisibles, pour des ondes incidentes données. Par ailleurs, si l'obstacle est donné, on recherche des fréquences pour lesquelles il n'y a pas de réflexion, pour certaines ondes incidentes, ce problème étant lié au problème de valeurs propres de transmission intérieures.
Le quatrième axe est le concept de dérivée topologique, qui quantifie la perturbation induite sur une fonctionnelle coût donnée par la nucléation d'un défaut infinitésimal dans un corps acoustique ou élastique de référence. Ce concept, connu pour être efficace comme outil d'échantillonnage pour l'identification basée sur les ondes d'objets de taille finie, a été partiellement justifié d'un point de vue mathématique. C'est à la fois une méthode de CND complémentaire et un outil potentiellement utile pour la conception de milieux périodiques.
Le cinquième axe porte sur les méthodes d'optimisation sous contrainte d'EDPS. Cela inclut l'imagerie utilisant des fonctionnelles énergétiques basées sur une erreur en loi de comportement, l'optimisation de la topologie utilisant le concept de base d'espace propre adaptative et les approches par équation intégrale des problèmes d'optimisation de forme dans le contexte de la mécanique des fluides.